正弦娘

 本文介绍的是正弦函数的拟人化萌娘。

• 關於以“sin”为关键词的其他条目，詳見「Sin」。
• 關於以“正弦”为关键词的其他条目，詳見「正弦」。

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正弦娘
《WIXOSS》中的正弦拟人 画师：コウサク
性质
奇偶性	奇
单调性	$[2k\pi -\frac{\pi }{2},2k\pi +\frac{\pi }{2}]$上单调递增，$[2k\pi +\frac{\pi }{2},2k\pi +\frac{3\pi }{2}]$上单调递减
定义域	$\mathbb{C}$
值域	$[-1,1]$，定义域为$\mathbb{R}$时 $\mathbb{C}$，定义域为$\mathbb{C}$时
最小正周期	$2\pi$
特殊点
$f(0)$	$(0,0)$
最大值	$(2k\pi +\frac{\pi }{2},1)$
最小值	$(2k\pi -\frac{\pi }{2},-1)$
零点	$(k\pi ,0)$
不动点	$(0,0)$
以上所有$k\in \mathbb{Z}$

正弦娘（英语：sine，符号：$\sin$）是正弦函数的拟人化萌娘，属于三角函数大家族。

正弦娘的介绍

早期发现

几千年前的古代数学家们是在和三角形娘玩耍时首次遇到正弦娘的：取一只直角三角形娘$\mathrm{Rt}\mathrm{△}ABC$，其中$\mathrm{\angle }B={90}^{\circ }$。让斜边$AC$与对边$BC$百合，$BC$在上，$AC$在下，就可以得到正弦娘$\sin A$了。那时候的正弦娘并没有名字，但她帮助古人解决了不少生产生活中的实际问题，例如计算航海路线等。后来的数学家们发现，正弦娘并不是一直依附于三角形娘而存在，而是有一只锐角娘就可以了。锐角娘越大，对应的正弦娘就越大。

初获芳名

随着正弦娘出没次数的增加，瑞士数学家欧拉最早把她命名为“$\sin$”。明朝末年西学东渐的时候，在北京的学士们给她起名叫“正弦”。

现代寻踪

在平面直角坐标娘$xOy$中，对于以坐标原点$O$为顶点，$x$轴正半轴为始边的角娘$\alpha$，取终边上的一个点娘$P(x,y)$，$P$到坐标原点的距离$r=\sqrt{x^2+y^2}$，令$y$与$r$百合，$y$在上，$r$在下，便可得到角$\alpha$的正弦娘。

之后在研究复数娘的时候，数学家们发现任意复数娘$z$都可以对应一只正弦娘$\sin z=\frac{e^{\mathrm{i}\mathrm{z}}-e^{-\mathrm{i}\mathrm{z}}}{2\mathrm{i}}$；而对于实数娘$x$，对应的正弦娘还可以显现这般模样$\sin x=\mathrm{Im}(e^{\mathrm{i}\mathrm{x}})$.

个人特征与萌点

身高

1. 在实变空间内，正弦娘身高的绝对值总是不超过$1$，换而言之，正弦娘的身高在$[-1,1]$范围内；角娘$x$在第一、二象限时，正弦娘$\sin x$的身高为正值；角娘$x$在第三、四象限时，正弦娘$\sin x$的身高为负值。
2. 但是当正弦娘跑到了复变空间，这个身高的限制便不复存在了。设$x,y\in \mathbb{R},z=x+\mathrm{i}\mathrm{y}\in \mathbb{C}$，有$\sin z=\sin (x+\mathrm{i}\mathrm{y})=\sin \mathrm{x}\cos (\mathrm{i}\mathrm{y})+\cos \mathrm{x}\sin (\mathrm{i}\mathrm{y})=\sin \mathrm{x}\cosh \mathrm{y}+\mathrm{i}\cos \mathrm{x}\sinh \mathrm{y}$。这时候，正弦娘的身高在现实世界的投影$\mathrm{Re}(\sin z)=\sin x\cosh y$，在虚拟世界的投影$\mathrm{Im}(\sin z)=\cos x\sinh y$，不再受到限制。

喜欢在意的人

1. 住在三角学领域的时候，正弦娘喜欢跟面积娘在一起；住在向量分析领域的时候，正弦娘喜欢跟外积娘（又名“叉积娘”、“向量积娘”）在一起。
2. 除了妹妹余弦娘$\cos x$，正弦娘还有一个孪生妹妹双曲正弦娘$\sinh x$，在复变空间内，$\sinh z=-\mathrm{i}\sin (\mathrm{i}\mathrm{z})$，三角函数娘的相互变换就是这么无厘头。

三角学领域

1. 如果把正弦娘$\sin x$百合的体位倒过来的话，就会变成余割娘$\csc x$。
2. 正弦娘$\sin x$和妹妹余弦娘$\cos x$平常经常会拌嘴，余弦娘希望角娘$x$在$0$到$\frac{\pi }{4}$之间，这样她就可以比姐姐正弦娘$\sin x$更高了。不过真的碰上敌人的时候，她们会和平方娘合作，合体成稳定的自然数娘$1$（${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$）。
3. 三角函数大家族里，以正弦娘为首的姐妹和她们的余函数姐妹们会在合适的条件下变换成不一样的自己或者姐妹的模样，于是熟悉三角函数大家族的地球Online术士们把她们变化的规律总结成诱导公式，并归纳成一句口诀“奇变偶不变，符号看象限”。从此，一个了解三角函数姐妹的穿越者，不管他来到哪个异世界，不管命运把他抛到哪个时空，不管他怎样感到自己是现代地球人，世界观不通，举目无亲，远离自己原本的位面，——他都可以凭口诀熟悉的语调，给自己找到同志和朋友。
4. 以正弦娘为代表的三角函数姐妹们有一系列关联萌点，称为“三角恒等式”，除了上面的倒数关系、平方关系、诱导公式，还有商关系、和差角公式、倍角公式、半角公式、辅助角公式、万能公式、和差化积公式、积化和差公式、降幂公式、平方差公式、棣莫弗公式等等。
5. 姐妹俩独处的一些时候，正弦娘会摆出一副询问的样子对着余弦娘：“今晚我们是tan，还是cot？”

分析学领域

1. 在弧度制模式下，正弦娘和她对应的数娘跟班跑回原点家里时候的速度是一样的，也就是说，在回家的路上，她们是等价无穷小。这也解释了为什么正弦娘在遇到微分算子时，会变换成余弦娘的模样。至于为什么一定要是在弧度制下？正弦娘摆了摆手：“你自己摸索去吧！”
2. 如果一列等差的正弦娘手挽手坐成一排，那么可以轻松把她们归拢到一起，也就是$$\sum _{k=0}^n\sin (a+2kd)=\sin a+\sin (a+2d)+\sin (a+4d)+\cdots +\sin (a+2nd)=\frac{\sin (a+nd)\sin [(n+1)d]}{\sin d}$$至于要怎么发现这个萌点，傲娇的正弦娘除了“裂项”两个字之外，什么都不告诉你。
3. 大部分时候，正弦娘$\sin x$并不是一只有理数娘。为了测定她的身高，数学家莱布尼茨发现了一只和她长得一样高的级数娘$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$。从此之后，每一只角娘对应正弦娘的身高都可以很容易的计算了。
4. 很久之后，另一位数学家傅立叶发现对任何奇函数娘$f(x)$，我们都可以找到很多不同正弦娘$a_n\sin (nx)$，把她们加起来成为一个级数娘$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sin (nx)$后，身高和这只奇函数娘在任意点都一样。这个级数娘被称为傅立叶正弦级数娘，她可以帮助我们解决很多数学分析娘的问题。

相关定理娘

正弦定理姐妹

主条目：正弦定理娘

• 正弦定理姐妹不仅跟正弦娘关系匪浅，而且跟三角形$ABC$的三个角娘$A,B,C$和三个边娘$a,b,c$都是亲戚。正弦定理姐妹外貌相似，但根据居住地点的不同也会有微妙的差异。
• 住在平面几何领域的正弦定理娘，一言以蔽之$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$
• 很多时候，住在欧派附近的正弦定理娘和住在球面几何领域的正弦定理娘差不多，一言以蔽之$$\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}$$但是住在更新姬欧派附近的正弦定理娘却不是如此。

三正弦定理娘

• 住在立体几何领域。

画廊

sin加法定理 by red  正余弦姊妹 by 冷场的匣子

注释与外部链接

• 高中数学三角函数公式大全，竞赛高考都适用（含公式推导） - nixnewiem的文章 - 知乎
• 数学装逼神器——高端三角恒等变换 - Aries的文章 - 知乎
• 一类有趣的三角级数 - Aries的文章 - 知乎
• 怎样计算 sin1°·sin2°·sin3°· … ·sin89°？ - 知乎