余弦娘

 本文介绍的是余弦函数的拟人化萌娘。

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余弦娘
《WIXOSS》中的余弦拟人 画师：コウサク
性质
奇偶性	偶
单调性	$[2k\pi, (2k + 1)\pi]$上单调递减，$[(2k - 1)\pi, 2k\pi]$上单调递增
定义域	$\mathbb C$
值域	$[-1, 1]$，定义域为$\mathbb R$时 $\mathbb C$，定义域为$\mathbb C$时
最小正周期	$2\pi$
特殊点
$f(0)$	$(0, 1)$
最大值	$(2k\pi, 1)$
最小值	$(\pi + 2k\pi, -1)$
零点	$(-\cfrac{\pi}{2} + k\pi, 0)$
不动点	$(0.7391\cdots, 0.7391\cdots)$
以上所有$k \in \mathbb Z$

余弦娘（英语:cosine，符号：$\cos$）是余弦函数的拟人化萌娘。是三角函数姐妹大家族中的一只萌娘。

发现历史

几千年前的古代数学家们是在和三角形娘玩耍时首次遇到余弦娘的：取一只直角三角形娘$\mathrm {Rt}\triangle ABC$，其中$\angle B = 90^\circ$。则让其中的边$AC$与$AB$百合，$AC$在上，$AB$在下，就可以得到余弦娘$\cos A$了。那时候的余弦娘并没有名字，但她帮助古代数学家们解决了不少数学问题，例如计算一座埃及金字塔的坡度，或是计算太阳升起的角度等。

后来的数学家们发现，余弦娘并不是一直依附于三角形娘而存在，而是有一只锐角娘就可以了。锐角娘越大，对应的余弦娘就越小。随着余弦娘出没的次数增加，瑞士数学家欧拉最早将她命名为“$\cos$”（源自拉丁文COMPLÉMENTÍ SINVS，意為"sine of complement"）。

之后在研究复数娘的时候，数学家们发现任意角娘都可以对应一只余弦娘。在平面直角坐标娘$xOy$中，对于以坐标原点为顶点，$x$轴正半轴为始边的角娘$\alpha$，取终边上的一个点娘$P(x,y)$。如果P到坐标原点的距离为$r = \sqrt{x^2 + y^2}$，则令$x$与$r$百合，$x$在上，$r$在下，便可得到一只角$\alpha$的余弦娘。

个人特征与萌点

1. 如果把余弦娘$\cos x$百合的体位倒过来的话，就会变成正割娘$\sec x$。

2. 余弦娘$\cos x$和姐姐正弦娘$\sin x$平常经常会拌嘴，余弦娘希望角娘$x$在0到$\pi / 4$之间，这样她就可以比姐姐正弦娘$\sin x$更高了。不过真的碰上敌人的时候，她们会和平方娘合作，合体成稳定的自然数娘1（$\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$）。

3. 除了姐姐正弦娘$\sin x$，余弦娘还有一个孪生妹妹双曲余弦娘$\cosh x$，在复变空间内，$\cosh z = \cos(\mathrm{i}z)$，三角函数娘的相互变换就是这么无厘头。

4. 大部分时候，余弦娘$\cos x$并不是一只有理数娘。为了测定她的身高，数学家莱布尼茨发现了一只和她长得一样高的级数娘$\cos x = 1−\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}−\frac{x^{6}}{6!}+\cdots$。从此之后，每一只角娘对应余弦娘的身高都可以很容易的计算了。在实变空间内，余弦娘身高的绝对值总是不超过1，换而言之，余弦娘的身高在[-1,1]范围内。但是如果余弦娘跑到了复变空间，这个身高的限制便不复存在。

5. 很久之后，另一位数学家傅立叶发现对任何偶函数娘$f(x)$，我们都可以找到很多不同余弦娘$a_{n}\cos(nx)$，将她们加起来成为一个级数娘$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\cos(nx)$后，身高和这只偶函数娘在任意点都一样。这个级数娘被称为傅立叶余弦级数娘，她可以帮助我们解决很多数学分析娘的问题。

6. 余弦娘很喜欢cosplay余弦玩。

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