討論:函數娘

不完善的定義是否應修正

我正在試圖擴寫特殊函數一節。前文中關於初等函數的部分，對於有少數名詞存在循環定義，未嚴謹定義，或者定義本身存在瑕疵的現象。如： 「初等函數是由基本運算 (例如, 加減乘除、指數、對數) 構成的函數.」就存在幾處漏洞：

1. 定義未提及初等函數均為單變量函數。
2. 「基本運算」無公認定義。如果基本運算指代「域運算」（加，乘，除，有理方根），這個定義不完整。如果運算包括代數函數，指數函數和對數函數，則應當利用「基本初等函數」的概念詳細指出。
3. 未考慮反函數的情況。
4. 「構成」屬用詞不嚴謹，可考慮換為「函數複合」；此外，最好指出複合必須僅有有限次。

我提議關於初等函數，在修正上述定義利用函數本身的性質撰寫的定義外，再增加如下的定義：

• 初等函數形成包含所有復代數常數和一個變量$z$的微分域$F$，使得如果$f$和$g$是與z有關的函數且$g$是一個初等函數，則有三種合稱「初等擴張」的域擴張：
  1. 如果$f'=\frac{g'}{g}$，那麼f是一個初等函數。（對數擴張）
  2. 如果$f'=g'f$，那麼f是一個初等函數。（指數擴張）
  3. 如果$p$是一個有初等係數的非常數的多項式並且$p(f)=0$，那麼f是一個初等函數。（代數擴張）
• 最終，通過域擴張$F_0\subseteq F_1\subseteq F_2\subseteq...\subseteq E$構成的初等函數的微分域對微分封閉。

再如，關於「代數函數」的定義「能夠表示為多項式方程的函數」也不嚴謹，因為：

1. 「多項式函數」應當是「整係數多項式函數」（或有理係數等）。
2. 「平方根」和「立方根」都不是很好的例子。在一般討論函數性質的複平面上，有理方根是多值函數（所以不是函數），只有取主值才能定義成函數。

因此，我提議將「代數函數」的定義修正為：

• 函數$f(z)$是代數函數，如果存在一個整係數多項式$p(z,w)$使得$p[z,f(z)]=0$。

進一步地，我沒有找到「基本超越函數」是如何定義的。我猜測它代指初等的超越函數，那最好還是分成指數函數和對數函數兩個小段；因為二者的定義和性質相去甚遠。自然對數也是多值函數，只是通過路徑積分定義可以自然地選擇主值而已。該段落內也有格式混亂的問題，如：

1. 「三角函數: 正弦, 餘弦, 正切等.; 主要用於幾何學和描述周期現象. 參閱古德曼函數.」提到了無定義無解釋的「古德曼函數」，而且邏輯上不通順，我想總不會是在評論對前面雙曲函數的定義。
2. 「鋸齒波」意味不明；「方波函數」不是初等函數。

再有，「特殊函數」一小節內有明顯的錯誤，也正因此我在試圖重新寫它。這包括：

1. 我沒有找到「基本特殊函數」的定義。
2. 文中給出的例子，包括「單位階躍函數」「Dirac delta function」（狄拉克delta函數）並非函數（均屬於「廣義函數」）
3. 「符號函數」有定義不恰當的問題，沒有考慮到複數變量。

因此我希望重寫「初等函數」這一段，並在將來創建包含給定函數萌擬人化的模板。 --TheNewHope（討論） 2020年5月2日 (六) 00:36 (CST)

@TheNewHope廣義函數嚴謹來說是泛函(functional)，也就是一個以複線性空間(complex linear space)為定義域(domain)，映射到複數系的函數。所以還是算作函數。--einekuhmachtmuh（討論） 2020年12月10日 (四) 21:38 (CST)

對條目作修改的原因，是原條目內存在如前述的事實性錯誤和在特殊函數理論上存在偏頗；我相信，我作的修改可以幫助讀者從更好的視角了解函數，而這些修改並非是具備「學術性」的，更何況這是事實性的，而相反地，它是對於函數這一主題來說很必要而淺顯的內容，因此請務必對為何執行回退作出進一步的解釋。 --TheNewHope（討論） 2020年5月3日 (日) 15:51 (CST)

不在收錄範圍。本條目的主題是函數娘而不是函數。 --M.（Me.） J.（Join the talk.） H.（History.） 2020年5月7日 (四) 12:12 (CST)

如果缺乏外部連結我可以添加上。--TheNewHope（討論） 2020年5月3日 (日) 16:01 (CST)

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