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不完善的定义是否应修正
我正在试图扩写特殊函数一节。前文中关于初等函数的部分,对于有少数名词存在循环定义,未严谨定义,或者定义本身存在瑕疵的现象。如: “初等函数是由基本运算 (例如, 加减乘除、指数、对数) 构成的函数.”就存在几处漏洞:
- 定义未提及初等函数均为单变量函数。
- “基本运算”无公认定义。如果基本运算指代“域运算”(加,乘,除,有理方根),这个定义不完整。如果运算包括代数函数,指数函数和对数函数,则应当利用“基本初等函数”的概念详细指出。
- 未考虑反函数的情况。
- “构成”属用词不严谨,可考虑换为“函数复合”;此外,最好指出复合必须仅有有限次。
我提议关于初等函数,在修正上述定义利用函数本身的性质撰写的定义外,再增加如下的定义:
- 初等函数形成包含所有复代数常数和一个变量$z$的微分域$F$,使得如果$f$和$g$是与z有关的函数且$g$是一个初等函数,则有三种合称“初等扩张”的域扩张:
- 如果$f'=\frac{g'}{g}$,那么f是一个初等函数。(对数扩张)
- 如果$f'=g'f$,那么f是一个初等函数。(指数扩张)
- 如果$p$是一个有初等系数的非常数的多项式并且$p(f)=0$,那么f是一个初等函数。(代数扩张)
- 最终,通过域扩张$F_0\subseteq F_1\subseteq F_2\subseteq...\subseteq E$构成的初等函数的微分域对微分封闭。
再如,关于“代数函数”的定义“能够表示为多项式方程的函数”也不严谨,因为:
- “多项式函数”应当是“整系数多项式函数”(或有理系数等)。
- “平方根”和“立方根”都不是很好的例子。在一般讨论函数性质的复平面上,有理方根是多值函数(所以不是函数),只有取主值才能定义成函数。
因此,我提议将“代数函数”的定义修正为:
- 函数$f(z)$是代数函数,如果存在一个整系数多项式$p(z,w)$使得$p[z,f(z)]=0$。
进一步地,我没有找到“基本超越函数”是如何定义的。我猜测它代指初等的超越函数,那最好还是分成指数函数和对数函数两个小段;因为二者的定义和性质相去甚远。自然对数也是多值函数,只是通过路径积分定义可以自然地选择主值而已。该段落内也有格式混乱的问题,如:
- “三角函数: 正弦, 余弦, 正切等.; 主要用于几何学和描述周期现象. 参阅古德曼函数.”提到了无定义无解释的“古德曼函数”,而且逻辑上不通顺,我想总不会是在评论对前面双曲函数的定义。
- “锯齿波”意味不明;“方波函数”不是初等函数。
再有,“特殊函数”一小节内有明显的错误,也正因此我在试图重新写它。这包括:
- 我没有找到“基本特殊函数”的定义。
- 文中给出的例子,包括“单位阶跃函数”“Dirac delta function”(狄拉克delta函数)并非函数(均属于“广义函数”)
- “符号函数”有定义不恰当的问题,没有考虑到复数变量。
因此我希望重写“初等函数”这一段,并在将来创建包含给定函数萌拟人化的模板。 --TheNewHope(讨论) 2020年5月2日 (六) 00:36 (CST)
- @TheNewHope廣義函數嚴謹來說是泛函(functional),也就是一個以複線性空間(complex linear space)為定義域(domain),映射到複數系的函數。所以還是算作函數。--einekuhmachtmuh(讨论) 2020年12月10日 (四) 21:38 (CST)
对条目作修改的原因,是原条目内存在如前述的事实性错误和在特殊函数理论上存在偏颇;我相信,我作的修改可以帮助读者从更好的视角了解函数,而这些修改并非是具备“学术性”的,更何况这是事实性的,而相反地,它是对于函数这一主题来说很必要而浅显的内容,因此请务必对为何执行回退作出进一步的解释。 --TheNewHope(讨论) 2020年5月3日 (日) 15:51 (CST)
如果缺乏外部链接我可以添加上。--TheNewHope(讨论) 2020年5月3日 (日) 16:01 (CST)
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