User:景育/杂谈粉丝“陈化”理论雏形

本文初载于Bilibili专栏（https://www.bilibili.com/read/cv9973904 ），现备份至萌娘百科。~~主要是练习在萌娘百科中编辑公式。~~

概念界定

先界定一下，这里说的“粉丝”是指在Bilibili上关注某一UP主的关注者，也就是“follower”。不是喜欢或热爱某一内容、主题的人。可能前面的程度比较低，后面的程度比较高。各位UP主的粉丝数也是指前者。

比如本文说洛天依的粉丝数，这里指的是洛天依在Bilibili上关注者的数目，而不是潜在的、难以量化的喜欢/热爱洛天依的人数。

提出背景

有时候看到两个粉丝数差不多的UP主，比如都是十几万粉，但是其中一个投稿UP主，一投稿就有很多人观看，也就是投稿作品的“初动”流量比较大。而另一个UP主，投稿之后观看者寥寥无几，虽然有十几万粉，但是要殿堂都遥遥无期。

我们假定“初动”情况下，大多数观众是在“动态”功能的时间线上看到自己关注UP主的投稿，然后点击进去的。至于从首页看到推送点进去的路人，或者从收藏夹点进去，或者通过搜索功能点进去，都不属于刚投稿的“初动”阶段。

两个粉丝数差不多的UP主，初动明显不同，这引起了我的关注。

另一个现象，是一个UP主明显在涨粉，但是自己一年比一年的“初动”要低。这也是一个奇怪的现象。

理论内容

陈化的概念

陈化指的是一部分Bilibili用户，因为三次元事务繁忙、兴趣衰减或兴趣转移等原因，逐渐减少使用Bilibili的频率或逐渐减少观看相关视频的频率。

比如小明在2015年时喜欢中文VOCALOID，关注了甲P。当时甲P新投稿的歌曲，他都会去观看、收藏、评论等。2018年，小明因为就业成为了“社畜”，从几乎天天刷B站，变成了一个月也看不了几次。就这样，甲P新投稿他基本不会点进去了。但是他并不是因为不喜欢甲P，而是纯粹因为自己繁忙，所以他不会取关甲P。

再比如，小红关注了甲P，之后因为考研，暂时卸载了B站。后来刚好换了一个手机，觉得用不着就压根没有下载Bilibili的APP。自然，这种情况下她也不会取关甲P，但是不会再看甲P的视频了。

以上只是编出来的两个故事，来辅助理解陈化。

陈化后的粉丝不妨称为“陈粉”，他们虽然没有取关，但是已经基本不会再和相关UP主互动了。而我们说的“老粉”一般指长期和UP主互动的。

陈化的定性表征

我们点开一个UP主的粉丝列表，翻到若干页前，然后点进一些粉丝的个人页面，可以看到一些粉丝已经很久没有写动态了，而此前他常发动态。或者一些人公开了收藏夹，而我们可以看出收藏夹长期没有更新，等等。

我们容易观察到唐乐林、黒白君、利昂·艾尔托沙等知名UP主长期以来毫无动静，但是不容易察觉有相当数量的粉丝也是这样的。

（PS.现在好像只能看前五页粉丝了）

陈化的数学模型

我们先从最简单的情况开始讨论，假定一个UP主在短时间内获得相当数量的粉丝，之后就再也没有涨粉了，当然也没人取关。然后这些粉丝的均匀陈化的，比如“每年陈化20%”这种（数字是瞎编的）。也就是说，单位时间陈化的粉丝数，正比于剩下的粉丝数。

用$f$表示剩下的粉丝数，则可以写为

$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=-kf$$

解这个微分方程，可得

$$f=A\mathrm{e}^{-kt}$$

我们假设这个UP主最初的粉丝数是$f_0$，作为“边界条件”。那么我们得到的函数是

$$f=f_{0}\mathrm{e}^{-kt}$$

现在，我们对一些假定进行修改，让这个结果更为普适一些。

根据天钿Daily的数据，可以直观地发现大多数“涨粉”是发生在UP主投稿之后的那么几天的。显然几天的数量级相较于陈化来说微不足道，忽略不计。也就是UP主的粉丝增长情况为几次跳跃性的增长。

假定UP主在$t_i(i=1,2...n)$的时刻投稿，并且每个投稿产生了$F_i$的涨粉。假定没有取关现象，那么，UP主明面上的总粉丝数就是每次投稿产生涨粉之和

$$F=\sum_{i=1}^{n}{F_i}$$

每一次涨粉都会发生陈化，假定现在的时间是$t$，那么剩余的未陈化粉丝数是

$$f = \sum_{i=1}^{n}{f_i} = \sum_{i=1}^{n}{F_i} \mathrm{e}^{-k(t-t_i)} $$

例子

先讨论两个例子作为对比

我们对一些常数进行假设，比如假定每年（365天）陈化20%。$t$的单位取“天”，

那么$k=0.000611\ \mathrm{d}^{-1}$

假定一个UP主（甲，虚构）主要在2017年、2018年活跃，在1420天前、1350天前、1260天前、1230天前、1180天前、1020天前投了六个稿，增长粉丝分别为3000, 4000, 3000, 4500, 2000, 4000，那么他明面上的粉丝数为这六个数字之和，即20500。如果大家点甲的个人主页，可以看到她有20500粉丝。

比如1420天前投稿涨了3000粉，根据上文的模型，过了这1420天，有58.0%的人已经陈化了，还剩下42.0%的老粉。3000粉乘以42.0%，那么可得剩余的老粉大约1260人。

这样一一计算，如表1所示：

表1. 甲UP主投稿于涨粉情况

投稿时间	距今时间	涨粉	未陈化率	剩余老粉
2017/4/5	1420	3000	42.0%	1260
2017/6/14	1350	4000	43.8%	1753
2017/9/12	1260	3000	46.3%	1389
2017/10/12	1230	4500	47.2%	2122
2017/12/1	1180	2000	48.6%	973
2017/12/1	1020	4000	53.6%	2145

到今天，这位UP主剩余的老粉就只有9640左右了，虽然她明面上有2万粉，但是实际上能够有机会点入她新投稿视频的人，只剩下不到一万了。

再如另外一个UP主（乙，虚构），在2020年才开始接触中文VOCALOID，并且迅速走红。

如表2所示，他明面粉丝数18500，实际剩余的老粉约16422。

表2. 乙UP主投稿于涨粉情况

投稿时间	距今时间	涨粉	未陈化率	剩余老粉
2020/3/9	352	2500	80.7%	2017
2020/7/15	224	3000	87.2%	2617
2020/8/9	199	7500	88.6%	6643
2020/11/7	109	5500	93.6%	5147

可见，乙UP主的粉丝数明面上比甲UP主少，但是他实际上剩余的实在的粉丝却比甲多。乙的剩余老粉约甲的1.7倍。

这是假定每年衰减20%的情况下，如果是每年衰减30%，甲UP主的剩余老粉只有约6156，而乙UP主的剩余老粉有15306，二者的差距更大了（乙约甲的2.5倍）。

小结

近期内投稿会增加“活粉”，长期不投稿会导致之前涨的粉丝逐渐“陈化”。这样可以解释一些在之前（2015~2017）的知名UP主，曾经殿堂曲很多，至今明面粉丝也有十余万，但是新投稿难以殿堂的现象。

同样也可以解释“提出背景”中的一些情况，比如两个粉丝数差不多的UP主，一个“初动”比较好，另一个则比较不好。

最后的话

有些UP主可以不投新稿也长期涨粉，典型的例子就是ilem。
现在没有有效的办法来测定陈化的速率，也就是每年陈化多少并不知道。（每年陈化$r$的话，那么$k=\ln(1-r)/365\ \mathrm{d}$，半衰期$\tau=\ln2/k$）
事实上，就目前的习惯而言，新投稿很有可能会在48小时内被UP主的亲友转发，新投稿的“初动”会被其它多方面条件影响。而且，就算是同一个UP主，不同投稿的“初动”情况也是不同的。
这个理论无意给鸽子增加了无形的压力。
撰写本文的目的在于试用萌娘百科的TeX公式功能。（狗头）