使用者:景育/雜談粉絲「陳化」理論雛形

本文初載於Bilibili專欄（https://www.bilibili.com/read/cv9973904 ），現備份至萌娘百科。主要是練習在萌娘百科中編輯公式。

概念界定

先界定一下，這裡說的「粉絲」是指在Bilibili上關注某一UP主的關注者，也就是「follower」。不是喜歡或熱愛某一內容、主題的人。可能前面的程度比較低，後面的程度比較高。各位UP主的粉絲數也是指前者。

比如本文說洛天依的粉絲數，這裡指的是洛天依在Bilibili上關注者的數目，而不是潛在的、難以量化的喜歡/熱愛洛天依的人數。

提出背景

有時候看到兩個粉絲數差不多的UP主，比如都是十幾萬粉，但是其中一個投稿UP主，一投稿就有很多人觀看，也就是投稿作品的「初動」流量比較大。而另一個UP主，投稿之後觀看者寥寥無幾，雖然有十幾萬粉，但是要殿堂都遙遙無期。

我們假定「初動」情況下，大多數觀眾是在「動態」功能的時間線上看到自己關注UP主的投稿，然後點擊進去的。至於從首頁看到推送點進去的路人，或者從收藏夾點進去，或者通過搜索功能點進去，都不屬於剛投稿的「初動」階段。

兩個粉絲數差不多的UP主，初動明顯不同，這引起了我的關注。

另一個現象，是一個UP主明顯在漲粉，但是自己一年比一年的「初動」要低。這也是一個奇怪的現象。

理論內容

陳化的概念

陳化指的是一部分Bilibili用戶，因為三次元事務繁忙、興趣衰減或興趣轉移等原因，逐漸減少使用Bilibili的頻率或逐漸減少觀看相關視頻的頻率。

比如小明在2015年時喜歡中文VOCALOID，關注了甲P。當時甲P新投稿的歌曲，他都會去觀看、收藏、評論等。2018年，小明因為就業成為了「社畜」，從幾乎天天刷B站，變成了一個月也看不了幾次。就這樣，甲P新投稿他基本不會點進去了。但是他並不是因為不喜歡甲P，而是純粹因為自己繁忙，所以他不會取關甲P。

再比如，小紅關注了甲P，之後因為考研，暫時卸載了B站。後來剛好換了一個手機，覺得用不着就壓根沒有下載Bilibili的APP。自然，這種情況下她也不會取關甲P，但是不會再看甲P的視頻了。

以上只是編出來的兩個故事，來輔助理解陳化。

陳化後的粉絲不妨稱為「陳粉」，他們雖然沒有取關，但是已經基本不會再和相關UP主互動了。而我們說的「老粉」一般指長期和UP主互動的。

陳化的定性表徵

我們點開一個UP主的粉絲列表，翻到若干頁前，然後點進一些粉絲的個人頁面，可以看到一些粉絲已經很久沒有寫動態了，而此前他常發動態。或者一些人公開了收藏夾，而我們可以看出收藏夾長期沒有更新，等等。

我們容易觀察到唐樂林、黑白君、利昂·艾爾托沙等知名UP主長期以來毫無動靜，但是不容易察覺有相當數量的粉絲也是這樣的。

（PS.現在好像只能看前五頁粉絲了）

陳化的數學模型

我們先從最簡單的情況開始討論，假定一個UP主在短時間內獲得相當數量的粉絲，之後就再也沒有漲粉了，當然也沒人取關。然後這些粉絲的均勻陳化的，比如「每年陳化20%」這種（數字是瞎編的）。也就是說，單位時間陳化的粉絲數，正比於剩下的粉絲數。

用$f$表示剩下的粉絲數，則可以寫為

$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=-kf$$

解這個微分方程，可得

$$f=A\mathrm{e}^{-kt}$$

我們假設這個UP主最初的粉絲數是$f_0$，作為「邊界條件」。那麼我們得到的函數是

$$f=f_{0}\mathrm{e}^{-kt}$$

現在，我們對一些假定進行修改，讓這個結果更為普適一些。

根據天鈿Daily的數據，可以直觀地發現大多數「漲粉」是發生在UP主投稿之後的那麼幾天的。顯然幾天的數量級相較於陳化來說微不足道，忽略不計。也就是UP主的粉絲增長情況為幾次跳躍性的增長。

假定UP主在$t_i(i=1,2...n)$的時刻投稿，並且每個投稿產生了$F_i$的漲粉。假定沒有取關現象，那麼，UP主明面上的總粉絲數就是每次投稿產生漲粉之和

$$F=\sum_{i=1}^{n}{F_i}$$

每一次漲粉都會發生陳化，假定現在的時間是$t$，那麼剩餘的未陳化粉絲數是

$$f = \sum_{i=1}^{n}{f_i} = \sum_{i=1}^{n}{F_i} \mathrm{e}^{-k(t-t_i)} $$

例子

先討論兩個例子作為對比

我們對一些常數進行假設，比如假定每年（365天）陳化20%。$t$的單位取「天」，

那麼$k=0.000611\ \mathrm{d}^{-1}$

假定一個UP主（甲，虛構）主要在2017年、2018年活躍，在1420天前、1350天前、1260天前、1230天前、1180天前、1020天前投了六個稿，增長粉絲分別為3000, 4000, 3000, 4500, 2000, 4000，那麼他明面上的粉絲數為這六個數字之和，即20500。如果大家點甲的個人主頁，可以看到她有20500粉絲。

比如1420天前投稿漲了3000粉，根據上文的模型，過了這1420天，有58.0%的人已經陳化了，還剩下42.0%的老粉。3000粉乘以42.0%，那麼可得剩餘的老粉大約1260人。

這樣一一計算，如表1所示：

表1. 甲UP主投稿於漲粉情況

投稿時間	距今時間	漲粉	未陳化率	剩餘老粉
2017/4/5	1420	3000	42.0%	1260
2017/6/14	1350	4000	43.8%	1753
2017/9/12	1260	3000	46.3%	1389
2017/10/12	1230	4500	47.2%	2122
2017/12/1	1180	2000	48.6%	973
2017/12/1	1020	4000	53.6%	2145

到今天，這位UP主剩餘的老粉就只有9640左右了，雖然她明面上有2萬粉，但是實際上能夠有機會點入她新投稿視頻的人，只剩下不到一萬了。

再如另外一個UP主（乙，虛構），在2020年才開始接觸中文VOCALOID，並且迅速走紅。

如表2所示，他明麵粉絲數18500，實際剩餘的老粉約16422。

表2. 乙UP主投稿於漲粉情況

投稿時間	距今時間	漲粉	未陳化率	剩餘老粉
2020/3/9	352	2500	80.7%	2017
2020/7/15	224	3000	87.2%	2617
2020/8/9	199	7500	88.6%	6643
2020/11/7	109	5500	93.6%	5147

可見，乙UP主的粉絲數明面上比甲UP主少，但是他實際上剩餘的實在的粉絲卻比甲多。乙的剩餘老粉約甲的1.7倍。

這是假定每年衰減20%的情況下，如果是每年衰減30%，甲UP主的剩餘老粉只有約6156，而乙UP主的剩餘老粉有15306，二者的差距更大了（乙約甲的2.5倍）。

小結

近期內投稿會增加「活粉」，長期不投稿會導致之前漲的粉絲逐漸「陳化」。這樣可以解釋一些在之前（2015~2017）的知名UP主，曾經殿堂曲很多，至今明麵粉絲也有十餘萬，但是新投稿難以殿堂的現象。

同樣也可以解釋「提出背景」中的一些情況，比如兩個粉絲數差不多的UP主，一個「初動」比較好，另一個則比較不好。

最後的話

1. 有些UP主可以不投新稿也長期漲粉，典型的例子就是ilem。
2. 現在沒有有效的辦法來測定陳化的速率，也就是每年陳化多少並不知道。（每年陳化$r$的話，那麼$k=\ln(1-r)/365\ \mathrm{d}$，半衰期$\tau=\ln2/k$）
3. 事實上，就目前的習慣而言，新投稿很有可能會在48小時內被UP主的親友轉發，新投稿的「初動」會被其它多方麵條件影響。而且，就算是同一個UP主，不同投稿的「初動」情況也是不同的。
4. 這個理論無意給鴿子增加了無形的壓力。
5. 撰寫本文的目的在於試用萌娘百科的TeX公式功能。（狗頭）