用戶:一位史蒂夫/貓貓醬

貓貓醬您好，這裏是萌娘百科編輯者一位史蒂夫，抱歉這麼晚了來打擾您。這裏有一個憑藉我們微弱的數學功底無法解決的數學問題，希望能夠得到您的幫助與點評。

事情是這樣的，萌百虛擬UP主編輯組前段日子為了充分評判跨平台虛擬UP主，推導出了這麼一個虛擬UP主綜合粉絲量算法。這裏的大致思路是，在兩個平台活動的虛擬UP主，不能將兩個平台的數字直接加和，而是引入一個係數γ來描述兩個平台的關係。但是目前這個算法還有着不小的問題，比如只能考慮兩個平台的粉絲數。如果引入第三個甚至更多的平台，那麼這個算法似乎就無法應用了。

萌百虛擬UP主編輯組的組員幾乎都不是數學專業出身，數學知識較為淺陋，僅憑我們的力量似乎並不能很好的解決這個問題。聽聞貓貓醬所學的是數學專業，而且您所發佈的數學相關視頻深入淺出，專業能力令人嘆服，所以還希望貓貓醬老師不吝賜教：

請問您如何評價這一算法的合理性呢？以及如果需要引入多個平台，那麼這個算法應當如何改進會更好呢？

最後，抱歉佔用了您的寶貴時間，以及感謝您的理解與支持！

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您好，感謝您的提問。事實上，後面的公式已經有貓貓醬心中覺得合理的答案的影子了。事實上這個問題不像看起來那麼簡單，因為這涉及兩個問題：A是平台之間粉絲數的換算關係，B是就算b站和youtube是粉絲數已經是換算之後的數值，也需要一個二元函數把兩個平台的數值轉換成一個值。

对于A暂且可以人工规定1油管粉丝代表多少b站粉丝，那么剩下的就是B了。这个问题是数学规划中的多目标规划问题，而对于而对于此处的情况来说最简单的方法就是$$x = \sum x_i \times f(x_1,x_2,...x_n)$$

这里x1到xn是n个平台已经换算过的粉丝，比方说乘一个常数的线性换算。其中根据页面中提供的信息猫猫酱了解到$f$需要满足的性质有①除某个$x_i$以外，其他的$x_i$全为0时$f=1$，②$x$增大时$f$的增速减少。对于后面的算法两个变量的情况来说，猫猫酱也不知道这里为什么多出了一项无用的$\gamma \over (x1+x2)$使得$f$在$x_i=0$的时候不为1。

如果不看这个无用项的话，他的式子变为$$1+{2 \gamma x_1x_2 \over (x_1+x_2)^2}$$

这里面$2\gamma$代表之前提到的问题A暂且不表，剩下的$f(x_1,x_2)= 1+{x_1x_2\over(x_1+x_2)^2}$就是我之前提到的$f$，注意到$x_1=0$时或者$x_2=0$时后面的项为0所以满足最基本的性质①。对于性质②，我们验证$x_1x_2$同阶的情况。分子是$x_1x_2$，分母是$x_1^2+2x_1x_2+4x_2^2\to4x_1x_2$，大概两个平台的等价粉丝数相等的时候是增加常数分之一的粉丝。这样的性质是很合理的。

说了这么多，猫猫给出一下自己的看法吧。为了更合理，这个算法应该分为两步。对于$y_1,y_2,...y_n$共$n$个平台的粉丝数：

1. 第一步用一些人工决定的常数将他们换算（比如推特1w粉=1000等价粉丝，油管1w=1w等价粉丝，b站1w=1w等价粉丝，脸书1w=500等价粉丝） $$x_1=C_1y_1$$ $$x_2=C_2y_2$$ $$...$$ $$x_n=C_ny_n$$ 其中$x_i$代表第i个平台的等价粉丝
2. 使用满足性质①和性质②的某个n元函数$f$计算最终的粉丝数
   这里面比如说，后面公式中的延伸算法，也就是$$f(x_1,x_2,...x_i)=1 + {\prod x_i \over (\sum x_i)^2} \times 某个常数$$就是一个很简单的例子，建议使用。
3. 代入公式$x =\sum x_i \times f(x_1,x_2,...x_i)$即可。

以上就是貓貓醬的看法！

当然，事实上这个$f$不能因为一个$x_i$为0就变为1。为了修正这个问题，一个简单的方法是新建一个函数$bool$，使得$bool(0)=1,bool(x)$。此时$$f(x_1,x_2,...x_i)=1 + {\prod bool(x_i) \over (\sum x_i)^2} \times 某个常数$$即可满足某个$x_i$为0的时候，不影响函数的计算。可以考虑一下。

如果覺得有用的話希望可以提一下貓貓醬的名字哦！感謝

抱歉！f的取值可能還需要更加討論。貓貓再想想哦

稍微想了一下，应该提前将无数据的平台剔除，并使用n个有数据的平台的加权方式$f(x_1,x_2,...x_n)$，例如$$f(x_1,x_2,..x_n) =1 + g(n) \times {\prod(x_i) \over ({\sum x_i \over n})^n}$$ 其中$g(n)$是某个函数，使得$g(1)=0$，后面的$g$作为可调整的常数

首先，对于$n>1$时，$x_1=x_2...=x_n$的情况，我们一律有$f(x_1,x_2,..x_n)=1+g(n)$

对于只有一个平台$n=1$的情况，$f(x_1)=1$
对于有两个平台$n=2$的情况，$f(x_1,x_2)=1 + 4 g(n) \times {x_1x_2 \over (x_1+x_2)^2}$，类似之前您发的链接中后半的计算方式
对于三个平台的情况，$f(x_1,x_2,x_3) = 1+27 g(n) \times {x_1x_2x_3 \over (x_1+x_2+x_3)^3}$

貓貓想說的是，不一定把所有情況都放在一個公式里就是最好的。應該按需調整。