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矩陣娘的基本信息

矩陣娘究竟是什麼？矩陣娘是體內有幾個數字的萌娘，這些數字有順序地排列成矩形。但是一般的矩陣娘萌點不多，所以本條目主要介紹元素排列為正方形的矩陣娘。 譬如由1、4、5、3四個數字構成的2階矩陣娘$A$，如下排列：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$$

矩陣娘的數字先按行、後按列排列，中間不需要逗號隔開，在兩邊加上方括號（有的同人作品是圓括號）表示矩陣娘的範圍。

矩陣娘的誕生

矩陣娘是數學家發明出來的女僕？

從雞兔同籠說起

假定每隻雞有1個頭、2隻腳，每隻兔有1個頭、4隻腳。現在籠中共有13個頭、42隻腳，問雞、兔各有幾何？

• 小學四年級解法：

假定全是雞，那麼13個頭對應26隻腳，距離42隻腳還差16隻腳。每隻兔比雞多2隻腳，多出來16隻腳，所以有16÷2=8隻兔子，有13-8=5隻雞。

• 初中二年級解法：

設雞的個數為$x$，兔的個數為$y$，由題意得二元一次方程組：

\begin{array}{ll} x&+y&=13 \\ 2x&+4y&=42 \end{array}

第一個式子翻倍：

\begin{array}{ll} 2x&+2y=26 \\ 2x&+4y=42 \end{array}

第二個式子減去第一個式子：

\begin{array}{ll} 2x&+2y&=26 \\ &2y&=16 \end{array}

解得$y=8$，代入原二元一次方程組中任意一個方程，解得$x=5$。

其實這裏已經體現了高斯消元法

• 使用矩陣娘的做法：

設雞的個數為$x_1$，兔的個數為$x_2$，由題意得二維線性方程：

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 42 \end{bmatrix}$$

我們把$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$稱為矩陣娘$A$，把$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$稱為向量娘$\symbfit{x}$，矩陣娘和向量娘貼貼，得到了一個新的向量娘$\begin{bmatrix} 13 \\ 42 \end{bmatrix}$。

$$A\symbfit{x}=\symbfit{v}$$

解這個矩陣方程，解出未知向量娘$\symbfit{x} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$。

至於怎麼解矩陣方程嘛，可以$\symbfit{x} = A^{-1}A\symbfit{x} = A^{-1}\symbfit{v}$，也可以像初中二年級那樣，通過矩陣的換裝初等變換來完成。

矩陣娘的行為

矩陣娘的轉置

比如某個矩陣娘站起來的時候是$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，躺下去就成了$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$。 再比如$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$，躺下去就成了$A = \begin{bmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{bmatrix}$。

轉置一般用右上角的「$T$」表示，譬如$A$的轉置記作$A^T$。

共軛轉置指的是在轉置之後取共軛複數，$A$的共軛轉置記作$A^H$。

矩陣娘的「數乘」

用一個複數$z$和矩陣娘$A$相乘，可以將矩陣娘變多或者變少（譬如1個蘋果變成2個蘋果），記為$zA$，這會導致矩陣娘體內元素的變化。

$$2\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 8 \\ 10 & 6 \end{bmatrix}$$

矩陣娘的貼貼

矩陣娘$A$可以貼貼另一個矩陣娘$B$，從而得到一個新的矩陣娘$C$。例如

$$\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*1+4*4 & 1*6+4*4 \\ 5*1+3*4 & 5*6+3*4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 22 \\ 17 & 42 \end{bmatrix}$$

注意，矩陣娘的貼貼是區分攻受的，$AB$並不一定等於$BA$哦。

$$\begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*5+6*1 & 1*4+6*3 \\ 4*1+4*5 & 4*4+4*3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 31 & 22 \\ 24 & 28 \end{bmatrix}$$

矩陣娘的貼貼又被稱為乘法，但是要注意，一般認為矩陣娘沒有除法。

1. 矩陣娘的數乘可以交換：$(zA)B = A(zB)$
2. 矩陣娘的貼貼滿足結合律：$(AB)C = A(BC)$
3. 矩陣娘的貼貼滿足分配率：$A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC$

矩陣娘的多次貼貼

譬如矩陣娘$B$被矩陣娘$A$貼了一下，記作$AB$；然後又被$A$貼了一下，記作$AAB$，如果被貼了很多下，就會變成$AAA...AAAB$，這樣寫起來太麻煩。於是矩陣娘要想辦法記一下自己被貼了幾下，聰明的矩陣娘才不會在腿上寫正字呢，就在「攻」的右上角寫數字。例如$A^5B=AAAAAB$，表示$B$被$A$貼貼了5次。

矩陣娘的逆

矩陣娘並不孤獨，如果一個矩陣娘$A$和另一個矩陣娘$B$貼貼可以得到單位矩陣娘： $$AB=E$$ 那麼稱$A$是$B$的逆矩陣娘，並且，與此同時$B$也是$A$的逆矩陣娘。

矩陣娘的類別

零矩陣娘

體內所有元素都是$0$的矩陣娘是零矩陣娘（Null matrix girl）。零矩陣娘有專門的記號$O$（這是字母O不是阿拉伯數字0）。 零矩陣娘才不是什麼都沒有呢！

單位矩陣娘

體內元素對角線上的全是$1$，其餘的全是$0$的矩陣娘是單位矩陣娘（Identity matrix）。單位矩陣娘有專門的記號$E$（以及$I$）。 你會發現

• 單位矩陣娘一定是對角矩陣娘。因為體內非對角線元素都是$0$。
• 單位矩陣娘一定是正規矩陣娘，因為$EE^H=E^HE$。
• 單位矩陣娘一定是厄米特矩陣娘，因為$E^H=E$。
• 單位矩陣娘還是酉矩陣娘，因為$EE^H=E$。
• 單位矩陣娘甚至是冪等矩陣，因為$E^2=E$。

…… 單位矩陣娘是所有矩陣娘中最萌的矩陣娘。

正規矩陣娘

如果一個矩陣娘的共軛轉置和自己相乘，等於自己和共軛轉置相乘，那麼她是正規矩陣娘（Normal matrix girl）師範矩陣娘。

$$AA^H = A^HA$$

• $n$階正規矩陣娘有$n$個線性無關的特徵向量萌點，可相似對角化。
• 存在酉矩陣娘$Q$，使得$Q^{-1}AQ$為對角矩陣娘。
• 厄米特矩陣娘是正規矩陣娘的一種。當哪個正規矩陣娘的全部特徵值為實數時，那她也是厄米特矩陣娘。
• 酉矩陣娘是正規矩陣娘的一種。當哪個正規矩陣娘的全部特徵值模為$1$時，那她也是酉矩陣娘。

厄米特矩陣娘 與 對稱矩陣娘

如果一個矩陣娘的共軛轉置等於自己，那麼她是厄米特矩陣娘（Hermite matrix girl）。

$$A^H = A$$

• 厄米特矩陣娘的逆娘也是厄米特矩陣娘。
• 厄米特矩陣娘的特徵值均為實數。
• 厄米特矩陣娘一定是正規矩陣娘，可以酉對角化為對角矩陣娘。

實數域領土內的厄米特矩陣娘又被稱為對稱矩陣娘（Symmetric matrix girl）。 $$A^T=A$$

酉矩陣娘 與 正交矩陣娘

如果一個矩陣娘的共軛轉置和自己相乘，等於單位矩陣娘，那麼她是酉矩陣娘（Unitary matrix girl），又稱么正矩陣。酉矩陣娘有專門的記號$U$。

$$UU^H = U^HU = E$$

換而言之，酉矩陣娘的逆，恰好等於酉矩陣娘的共軛轉置： $$U^{-1} = U^H$$ 實數域領土內的酉矩陣娘又被稱為正交矩陣娘（Orthogonal matrix girl）。 $$AA^T = A^TA = E$$ $$A^{-1} = A^T$$

冪等矩陣娘

如果一個矩陣娘自己和自己相乘，等於自己（自交還是自己），那麼她是冪等矩陣娘（Idempotent matrix girl）。

$$A^2 = A$$

• 冪等矩陣娘的特徵值萌點只能是$0$或者$1$。
• 冪等矩陣娘有$n$個線性無關的特徵向量萌點，是正規矩陣娘，可相似對角化。

矩陣娘的萌點

特徵值

矩陣娘$A$可以和非零向量娘$\symbfit{x}$貼貼，會產生一個新的向量娘$A\symbfit{x}$，如果恰好是這個向量娘的$\lambda$倍（$\lambda \symbfit{x}$）生下來的女兒像老婆，即： $$A\symbfit{x} = \lambda \symbfit{x}$$

那麼，稱這樣的$\lambda$為矩陣娘$A$的特徵值。

將上式變形為$\lambda \symbfit{x} - A\symbfit{x} = \symbfit{0}$，即$(\lambda E - A)\symbfit{x} = \symbfit{0}$。

這說明矩陣娘$(\lambda E - A)$貼貼非零向量娘$\symbfit{x}$得到零向量娘，那麼矩陣娘$(\lambda E - A)$一定是奇異的，它的行列式為0。定義函數娘$f(\lambda) = \det (\lambda E - A)$，成為矩陣娘$A$的特徵多項式娘，她的全部根就是矩陣娘$A$的特徵值。

奇異值

對於矩陣娘$A$，將$A^HA$（注意不是$A$）的特徵值從大到小排列：$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_r \ge 0 = ... = 0$

則稱$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i} (i=1,2,...,r)$為矩陣娘$A$的正奇異值。

$A$與$A^H$有相同的正奇異值。