User:无心十二载/Blackboard

定义

首先，定义一个和“分布”很相似的东西，就叫它概率空间好了。 定义：由一个样本空间中的基本事件以及基本事件相应发生的概率构成的空间称之为概率空间 它长成这样：

$$\left( \begin{array} {cc} 基本事件1 & 基本事件2 & ... & 基本事件n \\ 基本事件1发生的概率 & 基本事件2发生的概率 & ... & 基本事件n发生的概率\end{array} \right)$$

符号表示：

$$\left( \begin{array} {cc} x_1 & x_2 & ... & x_n \\ p_1 & p_2 & ... & p_n \end{array} \right)$$

根据定义，不难得出能够做出概率空间的充要条件是： $$\sum_{i=1}^n p_i=1 \qquad (1-1)$$ $$x_i \cap x_j = \phi \ ( i,j \in \{1,2,...,n\} , i \neq j ) \qquad (1-2)$$

与“分布”的兼容问题

根据“概率空间”的定义，基础事件$x_n$不一定需要用数字表示 但有时我们可以通过一些巧妙的转换可以求得某些数值的“期望”

例1

先后丢两个硬币，求硬币正面朝上个数的期望

运用“分布”的解法

通过一系列的计算，得到正面朝上数$X$的分布： $$\left( \begin{array} {cc} 0 & 1 & 2 \\ \frac14 & \frac12 & \frac14 \end{array} \right)$$ $$E[X]=0 \times \frac14 + 1 \times \frac12 + 2 \times \frac14 = 1$$

运用“概率空间”的解法

和正统“期望”的思路一致：把概率作为权重，对相应取值进行加权平均，通过“概率空间”得出的期望用$F[X]$表示 用$T$表示“正”，用$F$表示“反”；$(T,F)$表示第一次正面朝上，第二次反面朝上 做出概率空间：

$$\left( \begin{array} {cc} (T,T) & (T,F) & (F,T) & (F,F) \\ \frac14 & \frac14 & \frac14 & \frac14 \end{array} \right)$$

然后用$\hat {(T,T)}$表示事件$(T,T)$在选定的观察角度下对于期望所代表的数值，在此处$\hat {(T,T)} = 2$ $F[X]=$所有事件代表的数值与相应事件发生概率乘积之和

$$F[X]= 2 \times \frac14 + 1 \times \frac14 + 1 \times \frac14 +0 \times \frac14 = 1$$

虽然没有严格证明，但的确$E[X]=F[X]$

问题1

求证： $$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$$

解：

要证：

$$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$$

就是证：

$$F[X+Y]=F[X]+F[Y]$$

不妨先做出$X$与$Y$的概率空间

$$X:$$ $$\left( \begin{array} {cc} x_1 & x_2 & ... & x_n \\ p_1 & p_2 & ... & p_n \end{array} \right)$$ $$\sum_{j=1}^n p_j=1 \qquad (2-1)$$ $$F[X] = \sum_{j=1}^n {p_j \hat{x_j}} \qquad (2-2)$$ $$Y:$$ $$P(y_i \mid x_j) = t_{ji}$$ $$\left( \begin{array} {cc} y_1 & y_2 & ... &y_m \\ \sum_{j=1}^n {p_j t_{j1}} & \sum_{j=1}^n {p_j t_{j2}} & ... & \sum_{j=1}^n {p_j t_{jm}} \end{array} \right)$$ $$F[Y] = \sum_{i=1}^m { \sum_{j=1}^n {p_j t_{ji} \hat{y_i} }} \qquad (2-3)$$

则$X+Y:$

$$\left( \begin{array} {cc} (x_1 , y_1) & (x_2 , y_1) & ... & (x_n , y_1) & (x_1 , y_2) & ... & (x_n , y_m) \\ p_1 t_{11} & p_2 t_{21} & ... & p_n t_{n1} & p_1 t_{12} & ... & p_n t_{nm} \end{array} \right)$$

其中$(x_1 , y_1)$表示既发生$x_1$事件，又发生$y_1$事件 且不难得出$\hat{(x_1,y_1)}=\hat{x_1}+\hat{y_1}$

$$F[X+Y]=\sum_{i=1}^m { \sum_{j=1}^n { p_i t_{ji} \hat{ (x_j y_i) } } }$$ $$=\sum_{i=1}^m { \sum_{j=1}^n { p_i t_{ji} (\hat{x_j} + \hat{y_i}) } }$$ $$=\sum_{i=1}^m { \sum_{j=1}^n { p_i t_{ji} \hat{x_j} } } + \sum_{i=1}^m { \sum_{j=1}^n { p_i t_{ji} \hat{y_i} } }$$

根据$(2-3)$

$$=\sum_{i=1}^m { p_i \sum_{j=1}^n { t_{ji} \hat{x_j} } } +F[Y]$$

根据$(2-2)$

$$=\sum_{i=1}^m { p_i F[X] } +F[Y] = F[X] \sum_{i=1}^m {p_i} +F[Y]$$

根据$(2-1)$

$$=F[X] + F[Y]$$

综上 $$F[X+Y] = F[X] + F[Y]$$ $$Q.E.T.$$

问题2

已知： $X$与$Y$相互独立 求证： $$D[X+Y]=D[X]+D[Y]$$

解：

$$D[X+Y]=E[(X+Y)^2]-E[X+Y]^2$$

$$=E[X^2+2XY+Y^2]-(E[X]+E[Y])^2$$ $$=E[X^2]+2E[XY]+E[Y^2]-(E[X]^2+2E[X]E[Y]+E[Y]^2)$$

$D[X+Y]=$$(E[X^2]-E[X]^2)+(E[Y^2]-E[Y]^2)$$+2(E[XY]-E[X]E[Y]) \qquad (3-1)$ $D[X]+D[Y]=$$(E[X^2]-E[X]^2)+(E[Y^2]-E[Y]^2)$$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (3-2)$ 根据$(3-1),(3-2)$ 要证

$$D[X+Y]=D[X]+D[Y]$$

就要证

$$E[XY]=E[X]E[Y]$$ $$X:$$ $$\left( \begin{array} {cc} x_1 & x_2 & ... & x_n \\ p_1 & p_2 & ... & p_n \end{array} \right)$$ $$\sum_{j=1}^n {p_j \hat{x_j} } =E[X] \qquad (4-1)$$ $$Y:$$ $$\left( \begin{array} {cc} y_1 & y_2 & ... & y_m \\ t_1 & t_2 & ... & t_m \end{array} \right)$$ $$\sum_{i=1}^m {t_i \hat{y_i} } =E[Y] \qquad (4-2)$$ $$XY:$$ $$\left( \begin{array} {cc} (x_1 , y_1) & (x_2 , y_1) & ... & (x_n , y_1) & (x_1 , y_2) & ... & (x_n , y_m) \\ p_1 t_{1} & p_2 t_{1} & ... & p_n t_{1} & p_1 t_{2} & ... & p_n t_{m} \end{array} \right)$$ $$E[XY]=\sum_{i=1}^m { \sum_{j=1}^n { p_j t_i \hat{ (x_j,y_i) } } }$$ $$=\sum_{i=1}^m { \sum_{j=1}^n { p_j t_i ( \hat{x_j} \hat{y_i} ) } }$$ $$=\sum_{i=1}^m { t_i \hat{y_i} \sum_{j=1}^n { p_j \hat{x_j} } }$$

根据$(4-1)$

$$=\sum_{i=1}^m { t_i \hat{y_i} E[X] }=E[X] \sum_{i=1}^m { t_i \hat{y_i} }$$

根据$(4-2)$

$$=E[X] E[Y]$$

综上：$E[XY]=E[X]E[Y]$ 即：$D[X+Y]=D[X]+D[Y]$（别忽略条件$X$与$Y$相互独立哦）

$$Q.E.T.$$

最后提一嘴，$X$与$Y$相互独立可以推出$D[X+Y]=D[X]+D[Y]$但反过来不行

计算器

$$1^2+2^2+3^3+...+10^2=\sum_{x=1}^{10} { x^2 }$$ 像这种$\sum_{i=1}^{10} { x_i }$就别用计算器了，帮不上忙的 除非题目有告诉你$x_i$和$i$的关系，比如：$x_i=2i+1$

$$\sum_{i=1}^{10} {x_i}=\sum_{i=1}^{10} { (2i+1) } \qquad(1-1)$$

再用$x$替换$(1-1)$中的$i$（这里的$x$和之前$x_i$的$x$完全不是一个东西，但...计算器只能用$x$我能有什么办法）

$$=\sum_{x=1}^{10} { (2x+1) }$$

然后就可以照着这个输进计算器中了

上课未解决的问题

假设孟德尔老先生突然起死回生，对我坚定的说：“吾跟侬港，这豌豆啊，高茎、矮茎 以及 粉花、百花 两种性状相互独立，记住了啊”，随即钻回了棺材里 话说西方人用棺材吗

我听了当即叫上王哥去学校统计豌豆

结果我最后做出了以下表格

我	高茎	矮茎	总计
紫花	10	0	10
白花	0	10	10
总计	10	10	20

我	高茎		矮茎
	观察值	预期值	观察值	预期值
紫花	10	5	0	5
白花	0	5	10	5

按照预期值，世界上的豌豆花应该一半高一半矮，一半紫一半白，而且两者互相独立，不应该是像我这样紫花必高，白花必矮

这可能只是因为我运气太好选择了这份奇特的样本吗，我们来算一下随机挑选20支花得到这个结果的概率

随机选一支，为紫高的概率为$\frac14$，为白矮的概率也为$\frac14$（暂且忽略显隐性基因这回事） $$P=(\frac 14)^{10} \times (\frac 14 )^{10} \times C_{20}^{10} = 1.680346031 \times 10^{-7}$$

再算一下$\chi ^2$

$$\chi^2 = \frac{ 20 \times ( 10 \times 10 -0 )^2 }{ 10 \times 10 \times 10 \times 10 }= 20$$

不一会，王哥也回来了，带着他的数据：

王哥	高茎	矮茎	总计
紫花	0	10	10
白花	10	0	10
总计	10	10	20

王哥	高茎		矮茎
	观察值	预期值	观察值	预期值
紫花	0	5	10	5
白花	10	5	0	5

得，这运气也不错

$$P=(\frac 14)^{10} \times (\frac 14 )^{10} \times C_{20}^{10} = 1.680346031 \times 10^{-7}$$ $$\chi^2 = \frac{ 20 \times ( 0 - 10 \times 10 )^2 }{ 10 \times 10 \times 10 \times 10 }= 20$$

我和王哥 $P$ 相等，$\chi^2$ 也相等，那么：$P$ 相等是 $\chi^2$ 相等的什么条件

幂指对

$$a^N \times a^T = a^{N+T}$$ $$\log_a N + log_a T = log_a \left( {NT} \right)$$ $$\frac{\log_a N}{\log_a T} = log_T N$$